Dummy

Dynamical systems

This is the fourth document in a quick tour of the Baysig programming language, following on from Baysig quick tour: Bayesian statistical inference. The tour begins in Baysig quick tour: Fundamentals.

Lots of models in physics, chemistry, biology and the social sciences take the form of dynamical systems. For that reason, we have added a small construct to the functional core of Baysig to support differential equations. Such equations are introduced by pattern matching on the derivative of a function:

D v t = v t + sin t

where D denotes the differential operator, applied to the function v. The last pattern t brings the independent variable into scope -- both v and D v are functions of type Real -> Real. We could equally have written

D v = \t -> v t + sin t

in either case we need to give an initial value for v:

v_0 = 0.0

(In future versions of Baysig, this will be written as v 0 = 0.)

When a function v is defined using a differential operator as above, it can be used as any function, meaning it can be passed as to other functions or applied to values

v 0.5 ⇒ 0.1676

Several differential equations can be solved together if they are coupled. There is no need to indicate this, the compiler will figure it out from the dependencies in the variables. Here are the Lotka-Volterra equation for predator-prey dynamics:

x_0 = 50.0
y_0 = 15.0 
D x t = x t * (lvalpha - lvbeta * y t)
D y t = - y t * (lvgamma - lvdelta * x t)
over [sigPlot x, sigPlot y] ⇒ 

If you have observed some data, you can use Baysig to express a probabilistic model and try to estimate the model parameters. One way to do this is to act as if the differential equations exactly govern the underlying dynamics, with the outcome observed with uncorrelated noise.

This approach does not always work for real data. The real system may have some intrinsic noise, or there may be aspect of the system we do not fully understand. (In the Bayesian interpretation of probability, these two scenarios really mean the same thing.) We can still work with probabilistic models of the full time series by switching to stochastic differential equations (SDEs), which add "white noise" to the system equations. We have implemented this in Baysig by defining the wiener process as a probability distribution which must be drawn separately, in addition to a differential operator d appropriate for an SDE (the wiener process is not differentiable in the classical sense). This has the disadvantage that a single SDE is defined in two lines instead of one, but makes it clear where stochasticity occurs in an SDE, and allows reuse of individual wiener process sample paths, if needed. Thus a stochastic analog of the Lotka-Volterra equations may be:

predPrey = prob
   rvalpha   ~  gamma 1 1
   rvbeta    ~  gamma 1 1
   rvgamma   ~  gamma 1 1
   rvdelta   ~  gamma 1 1
   w1        ~  wiener
   w2        ~  wiener
   xr_0      ~  improper_uniform_positive
   yr_0      ~  improper_uniform_positive
   d xr t    =     xr t    * (rvalpha  - rvbeta   * yr t)  + 0.4 *  d w1 t
   d yr t    =  -  yr t    * (rvgamma  - rvdelta  * xr t)  + 0.4 *  d w2 t 
   return    (xr,yr)

Then, predPrey1 is new probabilistic generator which has known values for the model parameters:

predPrey1 <* updateS predPrey (return {  rvalpha=>0.1;
                                         rvbeta=>0.01;
                                         rvgamma=>0.05;
                                         rvdelta=>0.001;
                                         xr_0=>50.0; 
                                         yr_0=>15.0})

sampling from this model

simPredPrey <* sample predPrey1

gives functions we can plot

over [sigPlot (fst simPredPrey), sigPlot (snd simPredPrey)] ⇒ 

The real power of the Baysig language is that models like predPrey can be run in two modes: a forward mode that generates data, through sample, and an inverse mode to estimate parameters from real-world data, using estimate. We do not have any real-world data that counts chickens and foxes here at the Baysig HQ, so we will just pretend for now that the simulated data simPredPrey in fact came from a real experiment. We will then estimate the parameters from the simulated dataset. This way of re-estimating parameters from datasets that have been generated with known parameters is important in validating statistical estimation procedures.

predPreyPars <* estimate predPrey simPredPrey
predPreyPars ⇒ {
   rvalpha => 0.0991 ± 0.0027,
   rvbeta => 0.00989 ± 0.00026,
   rvgamma => 0.0544 ± 0.0093,
   rvdelta => 0.00113 ± 0.00019,
}
PlotColumn [] [PlotRow [] [ alphaDist,  betaDist], PlotRow [] [ gammaDist, deltaDist]] ⇒ 
0.0966794 0.100659 0.0967428 0.100022 0.0968655 0.0973431 0.0960218 0.102285 0.0957474 0.100685 0.102173 0.100611 0.10065 0.103163 0.0977431 0.100271 0.0993056 0.099104 0.101808 0.0993708 0.0965519 0.102897 0.0961431 0.0972142 0.0996643 0.100804 0.09562 0.100144 0.103754 0.101569 0.0975754 0.10066 0.102695 0.0984281 0.0971824 0.0992675 0.0996122 0.100538 0.100772 0.0971598 0.0988362 0.098482 0.0980761 0.100952 0.101872 0.0990437 0.0968712 0.0994909 0.10274 0.0992461 0.0985012 0.0998996 0.0986577 0.101803 0.0969336 0.09878 0.104207 0.103228 0.0943652 0.0983599 0.0995838 0.0993444 0.0981829 0.0985057 0.102217 0.10548 0.0962577 0.0939221 0.0991385 0.10135 0.097782 0.0976934 0.0973076 0.102121 0.0956952 0.0983043 0.099589 0.0973457 0.0929206 0.0994605 0.0986192 0.09618 0.102144 0.100885 0.105074 0.101197 0.102096 0.0982781 0.0958827 0.0941483 0.0968316 0.0950895 0.104102 0.0992744 0.0994159 0.102731 0.096117 0.0979971 0.0973942 0.0982589 0.0972343 0.101416 0.0926802 0.0978061 0.0969399 0.0936559 0.0975898 0.0999475 0.0994759 0.101838 0.0995232 0.0988687 0.0979472 0.102206 0.0993286 0.0940697 0.0968528 0.099821 0.0976959 0.0996586 0.0939927 0.101512 0.100733 0.0934309 0.104082 0.103233 0.100809 0.0996169 0.0970552 0.0968527 0.101154 0.0958664 0.100957 0.106966 0.0978153 0.0985874 0.102133 0.0990727 0.0959769 0.105268 0.100939 0.0995226 0.103392 0.0934257 0.101351 0.0990275 0.0951856 0.0994802 0.101763 0.100568 0.0976472 0.098601 0.0942797 0.0964076 0.0954268 0.0985587 0.0948958 0.0983889 0.095744 0.0910933 0.0975063 0.0967289 0.0963 0.0994343 0.0976023 0.10448 0.0950822 0.0987171 0.102621 0.0957184 0.101288 0.0965232 0.0983763 0.100891 0.102819 0.100269 0.0947664 0.100102 0.101248 0.0993809 0.100416 0.100899 0.0978559 0.0940037 0.1002 0.0959483 0.101849 0.0977665 0.0978247 0.100652 0.101703 0.0967622 0.0959291 0.104359 0.104882 0.0952816 0.0976587 0.100305 0.100555 0.0989264 0.0981814 0.0989012 0.0967858 0.101471 0.102411 0.0970962 0.099889 0.100102 0.102727 0.101576 0.100426 0.092341 0.0993325 0.0999824 0.102246 0.098005 0.0992494 0.102565 0.0972901 0.0953246 0.096089 0.0951079 0.0987243 0.0993238 0.102243 0.0956883 0.102136 0.100256 0.0973825 0.101677 0.09663 0.101808 0.103457 0.099363 0.0995606 0.09636 0.102032 0.101984 0.100283 0.101628 0.0953661 0.0968557 0.104371 0.0984056 0.100877 0.100009 0.0954475 0.0959156 0.0976329 0.100787 0.101671 0.101247 0.0970995 0.0990622 0.0954633 0.0994741 0.0987767 0.0974373 0.101575 0.0994648 0.0984424 0.0990123 0.0961602 0.101736 0.100685 0.0957065 0.0989599 0.0987707 0.0988724 0.0991303 0.0958144 0.0986265 0.0986526 0.0965978 0.0992851 0.0972849 0.100378 0.099346 0.0987506 0.102911 0.097434 0.104057 0.103327 0.0993602 0.100864 0.0990022 0.0977227 0.0982618 0.100193 0.0985939 0.101222 0.0953265 0.0985007 0.0994761 0.101666 0.0973797 0.0981256 0.0973141 0.095639 0.100189 0.0958814 0.0985641 0.103625 0.103978 0.0991338 0.101815 0.0995337 0.0960875 0.0988436 0.0967825 0.101512 0.0962889 0.0953529 0.10417 0.102351 0.0982694 0.0961795 0.100097 0.0998259 0.0992542 0.0981212 0.0965374 0.101495 0.09677 0.0969351 0.0959822 0.0971485 0.0958606 0.0957913 0.101282 0.0988534 0.0990421 0.0962606 0.0965492 0.0996461 0.0951269 0.100809 0.100541 0.0991074 0.0978792 0.100582 0.0975629 0.0981436 0.100432 0.0983108 0.0952054 0.0974693 0.0976305 0.102555 0.0963462 0.0999016 0.0956112 0.0999573 0.0936575 0.0998914 0.102664 0.0978513 0.0999491 0.0965738 0.0972011 0.102801 0.101488 0.0982373 0.103092 0.0962201 0.101223 0.0993235 0.0943277 0.100353 0.105614 0.100186 0.0985907 0.100062 0.0970291 0.0987224 0.0996834 0.103273 0.101297 0.100908 0.095586 0.100511 0.100656 0.100948 0.0968097 0.100724 0.0938927 0.0999929 0.0937382 0.101552 0.103425 0.0983632 0.101379 0.0954991 0.099551 0.0998881 0.100532 0.0953808 0.100043 0.102318 0.105935 0.0979669 0.0958846 0.101966 0.102956 0.0988896 0.0982182 0.100613 0.0972325 0.0950482 0.10064 0.100494 0.100216 0.0995212 0.101101 0.0994128 0.0958879 0.0998752 0.0988773 0.101083 0.101422 0.103439 0.0994355 0.09776 0.0970882 0.0942788 0.0948397 0.102183 0.103199 0.102613 0.0987535 0.103898 0.0940994 0.0997563 0.100416 0.100669 0.0956367 0.100477 0.0944978 0.0947207 0.0970761 0.0989619 0.0938618 0.0947101 0.0971473 0.098847 0.0965253 0.100212 0.107586 0.108463 0.0968365 0.0971293 0.0971825 0.100276 0.0969545 0.0968448 0.0999837 0.100361 0.0969672 0.098664 0.0998304 0.0976802 0.0982587 0.099295 0.0974925 0.101148 0.0952846 0.105336 0.0995479 0.100862 0.0970058 0.0966616 0.0996496 0.100224 0.104772 0.0976497 0.10103 0.0975836 0.095706 0.0995639 0.0994005 0.0976012 0.100659 0.100699 0.099755 0.10126 0.102613 0.0982335 0.0993346 0.0987392 0.0965139 0.101706 0.1018 0.0970944 0.0978105 0.102283 0.0987481 0.0992299 0.104692 0.0992377 0.0991138 0.102679 0.0971554 0.0995965 0.103813 0.100555 0.102292 0.0973116 0.102723 0.105148 0.0972359 0.104857 0.100415 0.100543 0.0997794 0.0974168 0.101305 0.09716 0.0977759 0.0981053 0.0988615 0.0975388 0.100221 0.0979617 0.10044 0.101539 0.0936102 0.0992702 0.0978221 0.0968208 0.102875 0.0947756 0.09807 0.0995246 0.0996847 0.0932566 0.0985486 0.100695 0.100385 0.100966 0.0959611 0.0962868 0.0981221 0.102932 0.0940676 0.0966135 0.0971281 0.102514 0.0980232 0.0992862 0.0971169 0.0996496 0.0953539 0.0995115 0.0968748 0.0977988 0.102031 0.101904 0.0975885 0.0979428 0.100069 0.0947481 0.0974419 0.0956301 0.0983142 0.101357 0.0963879 0.103142 0.0996558 0.0997708 0.0971916 0.100754 0.104165 0.0977331 0.0947675 0.101416 0.0991741 0.0998665 0.0979561 0.0991896 0.0998052 0.100428 0.100614 0.101917 0.09362 0.100805 0.0981815 0.0968149 0.0970738 0.0988547 0.098806 0.0920892 0.100223 0.0940048 0.0961944 0.0969638 0.0974826 0.101466 0.100726 0.0966508 0.0964836 0.100881 0.1008 0.104655 0.0986522 0.100573 0.0964989 0.102229 0.104512 0.103017 0.101855 0.0958438 0.0951194 0.0968965 0.101282 0.103682 0.0942881 0.0981107 0.0946073 0.0984976 0.103397 0.101587 0.0964952 0.0985164 0.099525 0.0999202 0.097037 0.103471 0.0991669 0.0968632 0.100005 0.0969405 0.102026 0.0967195 0.101203 0.0959078 0.0966611 0.0988566 0.0927441 0.0990148 0.0977639 0.0962233 0.100357 0.0972714 0.0950727 0.0993093 0.0980141 0.0974949 0.0976214 0.0982548 0.098732 0.0945846 0.104697 0.0979769 0.0978614 0.0961988 0.0938051 0.103521 0.0993301 0.0940018 0.096402 0.0985216 0.0971824 0.101864 0.0923083 0.0961802 0.102173 0.100842 0.0979442 0.102087 0.0955305 0.0987231 0.0945353 0.0974003 0.0987638 0.0988115 0.100889 0.0990293 0.0999589 0.0984093 0.0956394 0.0963274 0.100218 0.0970839 0.102815 0.0985761 0.100874 0.09321 0.0981636 0.103905 0.104471 0.096902 0.0977939 0.100142 0.0979834 0.0969895 0.103057 0.0984736 0.0994796 0.0965935 0.0988646 0.100783 0.100514 0.0998436 0.0991985 0.102554 0.0970759 0.101686 0.0985505 0.102052 0.101372 0.098402 0.101145 0.102536 0.102272 0.100372 0.10185 0.0995005 0.103292 0.0996543 0.0990164 0.100751 0.0997033 0.102424 0.0981939 0.098687 0.0990184 0.0978847 0.101269 0.103067 0.105622 0.103595 0.0945659 0.0999504 0.100743 0.0993792 0.106779 0.0979449 0.100007 0.0945893 0.10087 0.099396 0.104708 0.0981579 0.0977651 0.0998186 0.0974704 0.0989688 0.099267 0.101082 0.102587 0.098735 0.0965477 0.0989518 0.0993557 0.0980326 0.100386 0.101759 0.102594 0.101079 0.10344 0.0980699 0.0991766 0.103778 0.0946172 0.100199 0.0974905 0.0936939 0.0982553 0.10173 0.098448 0.0987052 0.10206 0.0968807 0.101677 0.0978787 0.0993286 0.096816 0.0990812 0.0981138 0.101752 0.105166 0.100844 0.103617 0.0973475 0.0981751 0.0986033 0.101806 0.0971231 0.106088 0.0987373 0.0960177 0.102262 0.0929275 0.102472 0.102967 0.100441 0.0990065 0.0975634 0.102069 0.0999975 0.0976064 0.100465 0.10066 0.0993465 0.0989809 0.0966738 0.098573 0.0977728 0.103893 0.0957615 0.098452 0.101334 0.0981833 0.0941157 0.102535 0.0986557 0.0962065 0.0945612 0.0965944 0.099759 0.0987205 0.10336 0.0982778 0.0966703 0.101943 0.0997787 0.0976808 0.101799 0.0986237 0.101552 0.0964978 0.098584 0.103536 0.104802 0.0988195 0.0956499 0.100043 0.0995572 0.0979747 0.099794 0.0999288 0.101218 0.098186 0.100136 0.0981954 0.101995 0.0988256 0.0983755 0.0949435 0.102704 0.10189 0.100262 0.0989982 0.10195 0.104647 0.100689 0.10013 0.0999852 0.10277 0.0973658 0.0968508 0.100032 0.0999841 0.102438 0.0963178 0.100177 0.0989401 0.102551 0.0981433 0.0980348 0.0959625 0.0990768 0.0991693 0.0982157 0.100441 0.0972644 0.100393 0.0951807 0.0950111 0.100769 0.0986074 0.0941918 0.10133 0.0999265 0.0969244 0.0952711 0.099244 0.100307 0.0995803 0.0958704 0.100616 0.0980684 0.101587 0.0978214 0.0935087 0.0963525 0.0976049 0.103537 0.100693 0.0975218 0.100677 0.105761 0.100949 0.0985291 0.101049 0.100256 0.0979352 0.101346 0.0963712 0.100687 0.0977061 0.100763 0.101296 0.100921 0.100168 0.0986259 0.0969869 0.100548 0.103506 0.102832 0.0995812 0.0962657 0.0934833 0.0988848 0.102297 0.0995303 0.099606 0.0982295 0.0985367 0.098939 0.101704 0.0966281 0.0982344 0.099328 0.10649 0.101842 0.0977328 0.0993216 0.100191 0.098793 0.103752 0.0974655 0.0985031 0.0926824 0.102819 0.10295 0.100912 0.0963667 0.0967306 0.0949549 0.0995325 0.100103 0.0971027 0.0973204 0.0989541 0.0969945 0.101592 0.103986 0.0983864 0.0983538 0.0967496 0.101637 0.0941165 0.0961619 0.0979953 0.0981865 0.097492 0.0992433 0.098437 0.0945507 0.0988955 0.102669 0.0989902 0.101252 0.101061 0.0988124 0.0964655 0.0985193 0.10643 0.098901 0.0977635 0.0970191 0.0968588 0.0989809 0.0970237 0.0996384 0.0978659 0.101637 0.0989048 0.101889 0.0991992 0.0993171 0.0993665 0.10154 0.100747 0.100989 0.100399 0.0987271 0.0979705 0.00958656 0.00996278 0.00965908 0.00997978 0.00972254 0.00970325 0.00956038 0.0101898 0.00952333 0.0101028 0.0102607 0.0100193 0.0100403 0.010217 0.00971409 0.0099434 0.00989364 0.009992 0.0101031 0.00991948 0.00960257 0.0102221 0.00955898 0.00961694 0.0100598 0.0101093 0.00963463 0.00990976 0.0103663 0.0101301 0.00972699 0.0100559 0.0102646 0.00990347 0.00966772 0.00991648 0.00990797 0.0100487 0.0100169 0.00972274 0.00987713 0.00990267 0.00986614 0.00999572 0.0101775 0.00998567 0.00973816 0.00988048 0.0102542 0.00985541 0.00985513 0.00991529 0.00984765 0.0101219 0.00967107 0.00992363 0.0102554 0.0102689 0.00950624 0.00981463 0.0099309 0.00999974 0.00980817 0.00988651 0.0100704 0.0105096 0.00964254 0.00932703 0.00970958 0.0101483 0.00974014 0.00983268 0.00979836 0.0102169 0.00951153 0.00973084 0.00992685 0.00969478 0.00932383 0.00995531 0.00983878 0.0095846 0.0101585 0.0100872 0.010477 0.0101649 0.0100605 0.00982253 0.00954563 0.00949996 0.00966521 0.00950999 0.0104326 0.00989568 0.00991029 0.0103115 0.00966181 0.00978187 0.00972115 0.00980857 0.00961301 0.0101876 0.0093331 0.00978854 0.00960748 0.00942605 0.00981306 0.00995582 0.00998793 0.0101593 0.00987438 0.0098434 0.00978891 0.0102847 0.00986938 0.00945019 0.00966688 0.0100069 0.00968361 0.0100292 0.00939409 0.0101181 0.0100724 0.00940524 0.0102972 0.0102476 0.0100138 0.00989414 0.00968692 0.00968656 0.0101746 0.00956442 0.00998152 0.0105538 0.00978821 0.00975101 0.0101895 0.00976637 0.00962532 0.0104913 0.010107 0.00996444 0.0103087 0.00940837 0.0101084 0.00986792 0.00946669 0.00995484 0.0101253 0.0100492 0.0098045 0.00984388 0.00937992 0.00958375 0.00957833 0.00986914 0.00943626 0.00990427 0.00955496 0.00910498 0.0098214 0.00952919 0.00969108 0.00994839 0.00978187 0.0103704 0.00954162 0.00992619 0.0101379 0.00959147 0.0101249 0.00963422 0.00979226 0.010129 0.0102098 0.00993561 0.00938325 0.0100411 0.0101112 0.00994261 0.0100335 0.00996566 0.00979847 0.0094245 0.00997515 0.00961748 0.0101607 0.00977282 0.00980143 0.010063 0.0102861 0.00968986 0.00961084 0.0104291 0.0104255 0.00960522 0.00980516 0.00997723 0.0100151 0.00995369 0.00983397 0.0097573 0.00967907 0.0101038 0.0102044 0.00971748 0.00992569 0.00994734 0.0102582 0.0101165 0.0100112 0.00924826 0.00990225 0.0100107 0.010256 0.00992468 0.00993732 0.0102674 0.0096895 0.00958019 0.00946937 0.00950276 0.00982583 0.0100243 0.0102031 0.00958147 0.0102047 0.00995926 0.00983958 0.010156 0.00974369 0.0100906 0.0101982 0.00998634 0.00991387 0.00976609 0.0101061 0.0100949 0.00994821 0.0100425 0.00953063 0.00971486 0.0104269 0.00982145 0.0101319 0.00996416 0.00945189 0.00956675 0.0097888 0.010093 0.0100503 0.0101343 0.00956898 0.00995967 0.00949164 0.0098781 0.00991648 0.00978325 0.0101292 0.00994969 0.00978734 0.00993213 0.00956526 0.0101822 0.0101002 0.00957808 0.00985554 0.00998003 0.00986514 0.0099317 0.00949432 0.00990997 0.00972348 0.00958611 0.00995843 0.00972127 0.0100309 0.00985318 0.00988611 0.0103299 0.00978775 0.0104118 0.0103527 0.0100028 0.0100405 0.0098319 0.00975753 0.00984585 0.0100152 0.00980599 0.0100952 0.00952967 0.00984335 0.00994195 0.0101328 0.00970654 0.00982812 0.00971314 0.00957895 0.0100662 0.00962315 0.0098479 0.0103975 0.0104043 0.00986396 0.0102595 0.00999021 0.00953044 0.00984854 0.00968167 0.0101325 0.00957871 0.00958266 0.0103736 0.0101088 0.00989167 0.00958832 0.00990688 0.00999992 0.00985598 0.00982625 0.00958582 0.0101978 0.00966489 0.00957744 0.00958775 0.00961711 0.00958294 0.00955999 0.0100266 0.00980117 0.00986075 0.00966675 0.00966648 0.0099118 0.00962094 0.00999588 0.00995676 0.0098335 0.00980422 0.0101562 0.00980171 0.0098335 0.0100168 0.00994821 0.00952406 0.00983586 0.00964112 0.0102635 0.00955309 0.00986903 0.00956899 0.00993794 0.00931803 0.00995776 0.0102095 0.00972084 0.0100105 0.00961481 0.00972848 0.0102378 0.0100797 0.00978909 0.0102838 0.00967245 0.0100388 0.00987397 0.00953002 0.00995587 0.010604 0.00990607 0.0097951 0.00994624 0.00966292 0.00988936 0.0100009 0.0102629 0.0100513 0.00999909 0.00968012 0.0101137 0.00994668 0.0100208 0.00969906 0.0100597 0.00933586 0.00984459 0.00938098 0.0100961 0.0103076 0.00983555 0.0102021 0.00954884 0.00989736 0.00995856 0.0100581 0.00962729 0.00999413 0.0102548 0.0106044 0.00977469 0.00948152 0.010266 0.0102824 0.00983327 0.00979853 0.00996766 0.00972217 0.0094976 0.0101304 0.0100063 0.00995448 0.0100014 0.0100693 0.00994634 0.00949939 0.00992329 0.00982329 0.0099531 0.0100875 0.0102064 0.0098838 0.00975392 0.00969054 0.00938221 0.00946752 0.0101543 0.0103197 0.0102185 0.00978649 0.0102673 0.0093596 0.00996084 0.0100599 0.0100793 0.00952224 0.00996573 0.00943455 0.00958481 0.00966424 0.00979304 0.0093263 0.00943665 0.00971518 0.00986494 0.00962977 0.00988004 0.0107867 0.0108911 0.00962591 0.00973455 0.00967804 0.0099991 0.00963864 0.00961622 0.0100625 0.0100085 0.00974328 0.00992632 0.00994088 0.00970198 0.00979432 0.00996824 0.00975291 0.0100978 0.00943668 0.010441 0.00991892 0.0100816 0.00968689 0.00968578 0.0100106 0.00993529 0.0104174 0.00961553 0.0100204 0.00970149 0.00954545 0.00993941 0.00996496 0.00979284 0.00993236 0.0100586 0.010025 0.0100394 0.0101743 0.00987029 0.00987893 0.00985403 0.00961501 0.0101928 0.0101635 0.00978506 0.00974351 0.0101275 0.00989502 0.0100415 0.0103698 0.00987758 0.00988054 0.0102193 0.00964794 0.00984808 0.0103115 0.0100106 0.0101 0.00972991 0.0102395 0.0104144 0.00969406 0.0105583 0.0100138 0.00999699 0.00996908 0.00963344 0.0100518 0.0096613 0.00981733 0.00975916 0.0098878 0.0096424 0.00999161 0.00978302 0.00993796 0.010202 0.00941903 0.00990674 0.00978356 0.00970157 0.0102377 0.00941319 0.00983348 0.00994315 0.00996566 0.0092881 0.00984362 0.0100531 0.0101007 0.0100731 0.00957153 0.00955361 0.00984386 0.0102976 0.00930676 0.00967005 0.00966531 0.0102404 0.00984553 0.00980491 0.00974742 0.00988703 0.00947535 0.00991415 0.00965663 0.00977016 0.0101179 0.0100502 0.00961175 0.00980385 0.00996255 0.00950572 0.00974416 0.00951872 0.00988104 0.0100706 0.00977123 0.0102128 0.0099797 0.00997126 0.00970682 0.0100168 0.0103189 0.0098124 0.00935106 0.0100375 0.00994727 0.00992152 0.00980189 0.00996531 0.0099868 0.00999142 0.0101018 0.0101208 0.00928918 0.010029 0.00983672 0.0097013 0.00970129 0.00985593 0.00987219 0.00923534 0.0100194 0.00933742 0.00958992 0.00974582 0.00973961 0.0102327 0.0100105 0.00957784 0.00964431 0.0100805 0.0100654 0.0104151 0.00979421 0.0100014 0.00957484 0.0102216 0.0103396 0.0101847 0.0101354 0.00954734 0.00952261 0.00963526 0.0101047 0.010324 0.00932799 0.00972605 0.00953261 0.00987284 0.010347 0.0100829 0.00966361 0.00975453 0.00991628 0.00995174 0.00963482 0.0103066 0.00991054 0.0096742 0.0100657 0.00968046 0.0102887 0.0096294 0.00999971 0.00967252 0.00958182 0.00987889 0.0092872 0.00981526 0.0097342 0.00964285 0.0100788 0.00969015 0.0094215 0.00989756 0.00980257 0.00967373 0.00979894 0.00976581 0.00981313 0.00936923 0.0104222 0.00979221 0.00979078 0.00960138 0.00939561 0.0102956 0.00999185 0.00932697 0.00965368 0.0098095 0.0097425 0.0100659 0.00927848 0.00967148 0.0102523 0.0100009 0.00975985 0.0101338 0.00955892 0.00989845 0.00949226 0.00971062 0.00984884 0.00980136 0.0101437 0.0098666 0.00994254 0.00979968 0.00953048 0.00953037 0.0101205 0.00967755 0.0103435 0.00978886 0.0100119 0.00934351 0.00979218 0.0103892 0.0104341 0.00972735 0.00982099 0.00997838 0.00971266 0.00977469 0.0102025 0.00986988 0.00989803 0.00968262 0.00984009 0.0100609 0.0100001 0.0099458 0.00997631 0.0102368 0.00959357 0.0101261 0.00974189 0.0101021 0.0100939 0.00983617 0.0100962 0.010255 0.0102253 0.0101623 0.0101256 0.00992389 0.0102743 0.00995714 0.0100037 0.010092 0.00995976 0.0102097 0.00978541 0.00979411 0.00992196 0.00984841 0.0100711 0.0103014 0.0104498 0.0103245 0.00948721 0.0100182 0.0100599 0.0099766 0.0106144 0.00983561 0.0100598 0.00940559 0.01018 0.00988069 0.0103225 0.00974295 0.00976237 0.00997163 0.00980134 0.00990087 0.0099528 0.00999819 0.0102617 0.00995864 0.00959162 0.00988835 0.010028 0.00973907 0.0099697 0.010136 0.0101904 0.0100641 0.0102519 0.00981665 0.00995217 0.0102729 0.00947197 0.00990282 0.00973021 0.00940535 0.00974802 0.0100246 0.00997691 0.00984701 0.010078 0.0096803 0.0100676 0.00970754 0.0098634 0.00968153 0.00993003 0.0097843 0.0101248 0.0104654 0.0100998 0.0103198 0.00967647 0.00967671 0.00985019 0.0101137 0.0097464 0.010428 0.00977275 0.00964013 0.0102165 0.00928928 0.0101739 0.0102259 0.00999633 0.00985711 0.00964398 0.0101498 0.0100163 0.0097472 0.010007 0.00992741 0.00985367 0.00988696 0.00957834 0.00981371 0.00978189 0.0103636 0.00956702 0.00982547 0.0100496 0.00975662 0.00949426 0.0102689 0.00982224 0.00956433 0.00936209 0.00969856 0.00986329 0.00983558 0.0102898 0.00989893 0.00964818 0.0101414 0.00986351 0.00971902 0.010134 0.00984704 0.0101699 0.00959001 0.00978275 0.010309 0.010466 0.00985136 0.0095248 0.00995269 0.0099056 0.0098047 0.00983574 0.00991757 0.0100745 0.00979884 0.0100078 0.00981935 0.0102463 0.00991402 0.00982748 0.00959239 0.0102551 0.0102463 0.010099 0.00989629 0.0101629 0.0103289 0.0100571 0.00993353 0.00996948 0.0102998 0.00970313 0.00976805 0.0100248 0.00998592 0.010238 0.00954447 0.0099398 0.00983836 0.0101427 0.00976896 0.00978582 0.00960399 0.00984194 0.00995675 0.00988703 0.0100629 0.00959117 0.00992885 0.00940852 0.00945302 0.0100969 0.00978952 0.00937641 0.0100429 0.0100349 0.00971079 0.00948837 0.00991055 0.00996391 0.0100307 0.00954546 0.0100622 0.00983519 0.0101239 0.00972509 0.00939551 0.00962383 0.00977058 0.0101909 0.0100633 0.00976306 0.0100983 0.0105166 0.010061 0.00981493 0.0101124 0.0099532 0.00970041 0.0101752 0.00968838 0.0100837 0.00959583 0.00999719 0.0101173 0.0100401 0.0098884 0.00988747 0.0096503 0.010044 0.0101645 0.0101713 0.00995212 0.00960097 0.00926669 0.0098543 0.0100944 0.0099022 0.00998609 0.00994477 0.00984496 0.00982088 0.0100843 0.00971237 0.00979711 0.00993836 0.0106149 0.0101053 0.00966048 0.00997203 0.00993126 0.00993661 0.0102315 0.00977043 0.00991777 0.00927138 0.0102686 0.0103223 0.0100703 0.0096692 0.00973459 0.00953934 0.0099289 0.00995115 0.00965223 0.00971653 0.00979238 0.00971939 0.0100769 0.0103539 0.00983228 0.00977213 0.00971026 0.0100917 0.00946506 0.00965369 0.0097431 0.00982208 0.00972096 0.00991309 0.00983509 0.00950923 0.00988088 0.0102909 0.00984595 0.0100279 0.0100786 0.00987581 0.00962161 0.00972573 0.0106546 0.00985915 0.00974954 0.00975784 0.00966171 0.00989454 0.00963637 0.00999866 0.00972447 0.0102001 0.00989518 0.0101782 0.010004 0.00992746 0.00991312 0.0100783 0.00998705 0.0100902 0.00995345 0.00982833 0.00978918 0.0415269 0.0567464 0.0432419 0.0568654 0.0597255 0.0567169 0.0526221 0.0617447 0.0597098 0.0652046 0.0527154 0.0694165 0.0623779 0.0527522 0.0522117 0.0495539 0.045317 0.0694691 0.0667733 0.0664585 0.0645562 0.0514814 0.0549083 0.0631804 0.0380721 0.0758626 0.0744336 0.0341251 0.0507534 0.0556034 0.0482095 0.0490887 0.0566254 0.0712501 0.0551099 0.0736433 0.0482742 0.0621549 0.0617096 0.0480416 0.0551499 0.0684482 0.0559232 0.0359577 0.0295517 0.0527714 0.0437123 0.0588997 0.0480924 0.0443207 0.0429869 0.0427105 0.0598054 0.0489125 0.055285 0.0512557 0.0645548 0.062064 0.0616579 0.0426291 0.0419615 0.057363 0.0495482 0.0486611 0.0640524 0.0639757 0.0649411 0.0512339 0.0577016 0.055903 0.058416 0.0455387 0.0340615 0.0577225 0.0466643 0.0543044 0.0576809 0.0599379 0.0684382 0.0653476 0.055602 0.0548731 0.0290002 0.0605557 0.0536453 0.0642279 0.0479212 0.0401636 0.0422856 0.0487507 0.0449453 0.0709704 0.0523298 0.0475932 0.0475822 0.0582546 0.0509703 0.0609844 0.0611928 0.0539838 0.0601604 0.0373195 0.049024 0.063582 0.0581928 0.0548868 0.0567341 0.073586 0.0622875 0.0610571 0.0411398 0.0522646 0.0517126 0.038753 0.0524873 0.0567439 0.0652158 0.0454055 0.0461043 0.0557412 0.0406026 0.0586227 0.0631608 0.0756944 0.0508122 0.0476666 0.035779 0.060003 0.0640076 0.0523697 0.0656258 0.0517461 0.0661055 0.0588212 0.0534249 0.0430057 0.0420569 0.0503617 0.0533747 0.0755024 0.0581744 0.0543393 0.0375123 0.0541591 0.0645349 0.0310457 0.0595415 0.0551942 0.0736663 0.0566479 0.0505934 0.0457256 0.0646973 0.0673322 0.0649278 0.0556144 0.0439856 0.0427888 0.0586332 0.053157 0.0744983 0.0504882 0.056835 0.052574 0.0653377 0.043096 0.0573768 0.0520433 0.0696503 0.0600203 0.046505 0.0519647 0.0635083 0.056406 0.0524851 0.0524911 0.0669224 0.0542027 0.0504277 0.0649308 0.0566599 0.0733677 0.0712015 0.064979 0.0474879 0.0648562 0.0596352 0.0492126 0.061683 0.0701512 0.0532048 0.0457818 0.0566536 0.0561349 0.0538159 0.0568839 0.0615547 0.0470744 0.0588789 0.0509099 0.0470434 0.0533623 0.0508716 0.071307 0.0595544 0.0507846 0.0519583 0.0364703 0.0512072 0.0451726 0.0585888 0.0547763 0.0587884 0.0596947 0.0548339 0.0621306 0.0587972 0.0453748 0.0544318 0.0519026 0.0722472 0.0549599 0.0596706 0.0333327 0.0494054 0.0583184 0.0544901 0.0612104 0.048777 0.0618991 0.0617197 0.0489623 0.0635499 0.053538 0.0554555 0.0532778 0.0537726 0.0619459 0.0690208 0.0734349 0.0554358 0.0481774 0.0451536 0.060863 0.047746 0.056292 0.0435401 0.0557377 0.058261 0.0571508 0.0624026 0.0498368 0.0546746 0.0563709 0.0618264 0.0496188 0.0469162 0.0513476 0.0570113 0.0477977 0.0651437 0.0431425 0.0555516 0.0349535 0.0514623 0.0468655 0.0779306 0.0602492 0.069216 0.0639864 0.0462482 0.0583572 0.0457533 0.044137 0.0608656 0.0516007 0.0630116 0.0746723 0.0380351 0.0535604 0.0473647 0.0503684 0.060836 0.0439768 0.038002 0.0412538 0.0583107 0.0482994 0.0591496 0.0462439 0.0439161 0.0680662 0.0396055 0.0416408 0.0746281 0.0388846 0.0464483 0.0486548 0.0451868 0.0599478 0.0575908 0.0564124 0.0573148 0.0477953 0.0542489 0.065552 0.0569222 0.0446542 0.0717524 0.0491949 0.047825 0.0552158 0.0385306 0.0477161 0.0391993 0.0658059 0.0495735 0.0729134 0.0516737 0.0499763 0.0596569 0.0534266 0.0525652 0.0691333 0.0454065 0.0756968 0.0598554 0.0585384 0.0564205 0.0475902 0.0459946 0.0516027 0.0681627 0.0545708 0.0390933 0.0397238 0.05231 0.0528872 0.0611161 0.0553033 0.0550791 0.0520826 0.0478728 0.0592674 0.0430592 0.0438859 0.0504013 0.0704575 0.0364993 0.0456777 0.0388512 0.0409701 0.0460081 0.0574414 0.0558678 0.0454311 0.050301 0.0655144 0.0713546 0.0642162 0.0563703 0.0715156 0.0529338 0.0662721 0.0524127 0.04675 0.0488038 0.0501403 0.0559566 0.0566842 0.0425992 0.0460191 0.0591167 0.0535806 0.0439834 0.0509148 0.0535931 0.0478419 0.0610468 0.0618694 0.0587288 0.0478845 0.0545452 0.0524396 0.0530436 0.037632 0.0510235 0.0609875 0.0374378 0.0578527 0.0681551 0.0574686 0.0459705 0.0682882 0.0615262 0.0537637 0.0657791 0.0536747 0.0679687 0.0384377 0.0493833 0.0443762 0.0596823 0.0721814 0.0759428 0.068196 0.0678289 0.0459688 0.0505268 0.0495058 0.060649 0.0485027 0.0599308 0.0401827 0.0507008 0.0582829 0.0547693 0.0543518 0.0755485 0.0410808 0.0655714 0.0613695 0.0489567 0.0494133 0.0552682 0.0549666 0.0494476 0.0353895 0.042138 0.0666138 0.044139 0.0490333 0.0568428 0.0648597 0.0671874 0.0456945 0.0618809 0.0461917 0.0602573 0.0507841 0.0552696 0.0397162 0.0551028 0.0499461 0.0489545 0.0482652 0.0471037 0.0601101 0.0545545 0.05602 0.0626314 0.0397774 0.0648736 0.0467144 0.0526031 0.0491583 0.0491986 0.0640813 0.038593 0.0489123 0.0487101 0.043252 0.0534285 0.0487396 0.0554204 0.0636461 0.0562098 0.0444519 0.0467015 0.0593441 0.048769 0.0591641 0.0622309 0.0516021 0.0500529 0.0536453 0.0616658 0.0603201 0.0402752 0.0548549 0.0522762 0.0542612 0.0593925 0.0587501 0.0448611 0.0545397 0.066887 0.0465402 0.0636622 0.0521608 0.0517422 0.051032 0.0557351 0.039361 0.050633 0.0392832 0.0486495 0.0632802 0.043525 0.0505284 0.0716197 0.0502619 0.0687695 0.0521664 0.0406312 0.0390073 0.0631517 0.0511161 0.0523425 0.0515472 0.0535638 0.0462115 0.0530581 0.0385315 0.053855 0.0541025 0.0517591 0.0406748 0.0493372 0.0548868 0.0634117 0.0504443 0.0552272 0.0516766 0.06251 0.0502334 0.0581245 0.0546845 0.0465499 0.0525514 0.0580082 0.045422 0.0487192 0.045143 0.0546421 0.057081 0.0427539 0.0644605 0.0612451 0.0601059 0.0564927 0.0538236 0.0520264 0.0557752 0.0599131 0.0719786 0.0491243 0.0558489 0.0557198 0.0545485 0.0538092 0.0711262 0.0423517 0.0767567 0.074124 0.0589936 0.0479218 0.0523743 0.0514774 0.0671494 0.0440937 0.0623363 0.0538971 0.0549751 0.0502784 0.0619333 0.0513336 0.0773762 0.0798528 0.0570095 0.0448307 0.0491847 0.0551015 0.0718788 0.0501607 0.0594112 0.0498996 0.0439941 0.0588584 0.0425067 0.0584453 0.0569445 0.0488756 0.0411035 0.0571942 0.0632492 0.0565404 0.0558993 0.0672751 0.0681312 0.0352079 0.06503 0.0593043 0.0437093 0.046419 0.0510373 0.0493441 0.0355262 0.0651597 0.0563483 0.0559679 0.0433648 0.074144 0.0398458 0.0480774 0.0628525 0.0426322 0.062312 0.0493951 0.0579947 0.0610879 0.0621792 0.0404902 0.0405201 0.0371896 0.0388955 0.0487199 0.0507633 0.0390958 0.0660253 0.0564275 0.0494393 0.0484762 0.045983 0.0582145 0.0284918 0.0334754 0.0591056 0.0648687 0.0619181 0.065236 0.0488932 0.0696743 0.0650859 0.0537138 0.0445903 0.0428245 0.0698352 0.0615053 0.0533703 0.0550993 0.0532154 0.0447951 0.0618613 0.0505155 0.0390912 0.0384171 0.0392034 0.0534551 0.0602456 0.0585865 0.0590881 0.0548235 0.0476713 0.0557062 0.0568094 0.0540785 0.0438426 0.0402952 0.0499271 0.0578326 0.0643258 0.0596844 0.0604421 0.0610043 0.0525137 0.0521206 0.0541608 0.0578759 0.0513298 0.0612116 0.0538723 0.0636121 0.0751308 0.0662493 0.0607288 0.0591413 0.0634129 0.0563255 0.0396855 0.055632 0.0445538 0.0476651 0.0578259 0.0651253 0.0458391 0.0595729 0.0594947 0.0537713 0.0229295 0.0432325 0.0560207 0.0619109 0.0491998 0.0682423 0.0513639 0.0479604 0.0589309 0.0518577 0.0595724 0.0602908 0.0605375 0.0413077 0.0511455 0.0517484 0.0533149 0.0424717 0.04971 0.055867 0.0451324 0.0493809 0.0607343 0.0543276 0.0500061 0.0574571 0.0628303 0.0642273 0.0519243 0.0613024 0.0477353 0.0694196 0.0569116 0.0599369 0.0576919 0.0301801 0.0589357 0.0700672 0.0490229 0.0549476 0.0310929 0.0603984 0.0392501 0.0828536 0.0814393 0.0689037 0.0444959 0.0442119 0.0474821 0.0521308 0.0474424 0.0675476 0.0640239 0.0483072 0.0564404 0.0482253 0.0691073 0.0584795 0.0489542 0.048594 0.036053 0.0582533 0.0603158 0.0500638 0.0470734 0.0665764 0.0514243 0.0599278 0.052709 0.0731087 0.0451118 0.0530185 0.0714918 0.0503651 0.0514966 0.0450686 0.0502689 0.0507731 0.0414337 0.054807 0.0539371 0.057428 0.044118 0.0514717 0.0486193 0.0503178 0.0490832 0.0538881 0.0619638 0.0615687 0.0584341 0.0565836 0.068689 0.0472736 0.0615659 0.0541064 0.0681531 0.04331 0.0523219 0.0515593 0.0463029 0.0469973 0.0559331 0.0608527 0.0665345 0.0629065 0.035704 0.060733 0.0702091 0.0363922 0.0567462 0.0474959 0.046466 0.047628 0.0535518 0.0686941 0.0565262 0.0492485 0.0439577 0.0588822 0.067207 0.0567919 0.0457539 0.0523429 0.0732126 0.0456134 0.0410386 0.0492682 0.0470798 0.0635672 0.0354782 0.0533008 0.0612657 0.0663279 0.0649673 0.0385205 0.0301555 0.0599511 0.0577822 0.0564807 0.0666803 0.0514994 0.0584315 0.0479167 0.0441729 0.0392355 0.0532176 0.0545806 0.0663559 0.0563853 0.0676917 0.05415 0.0494385 0.0535622 0.0620724 0.0588271 0.0482713 0.07178 0.0630731 0.0540419 0.0624194 0.0574524 0.0583356 0.0471182 0.0384248 0.0386483 0.0532485 0.048436 0.0695943 0.0593074 0.0514819 0.0567037 0.0492548 0.0577878 0.0564161 0.0484659 0.0556182 0.0525279 0.0546289 0.0575175 0.0603517 0.0615644 0.055089 0.0575364 0.0505024 0.0611618 0.0551231 0.0611311 0.0560992 0.0507149 0.0533701 0.0335014 0.0592874 0.0510679 0.0413382 0.05664 0.0646918 0.0627249 0.0646197 0.0746414 0.059184 0.057023 0.0553793 0.0647974 0.0634324 0.0719923 0.0569901 0.0656609 0.059205 0.0624594 0.0516178 0.0585368 0.0410985 0.0577218 0.0470966 0.0426393 0.0693481 0.0496369 0.0399778 0.0375773 0.05347 0.0512986 0.0597087 0.0499521 0.0684918 0.0670735 0.0519546 0.0507199 0.0592126 0.0622018 0.0619054 0.0731575 0.0495371 0.0606336 0.0571167 0.0647137 0.0650875 0.0503321 0.0613082 0.0589032 0.0641128 0.0479323 0.057028 0.0506637 0.0544047 0.0641602 0.0537006 0.0576539 0.0454625 0.0815486 0.0563302 0.0406164 0.0624324 0.0301374 0.0371482 0.0579472 0.0377132 0.0485249 0.0768002 0.0573277 0.0520991 0.0387708 0.0563058 0.0502085 0.058536 0.0616896 0.0540106 0.0519393 0.0542023 0.054453 0.0503191 0.0493297 0.0513292 0.05785 0.0580891 0.0339373 0.0487019 0.0542747 0.0657011 0.057042 0.0442239 0.0462548 0.0561152 0.0662605 0.058763 0.0614726 0.0572256 0.0468619 0.059503 0.0596608 0.0642622 0.0490209 0.0593171 0.0531837 0.0452994 0.057844 0.0589873 0.0454863 0.0547447 0.0557759 0.0577529 0.0505056 0.0469033 0.0551083 0.0435613 0.0599029 0.049896 0.0456862 0.0661062 0.0514783 0.000869893 0.00118717 0.000935288 0.00119853 0.00129338 0.00120913 0.00101704 0.00130453 0.00118878 0.00127306 0.00109759 0.00138836 0.00125896 0.00110639 0.00107288 0.00100316 0.00104449 0.00151162 0.00145133 0.00142062 0.00145925 0.00103359 0.00117469 0.00131925 0.000837614 0.00161705 0.00154175 0.000788669 0.00109863 0.00116445 0.0010468 0.000967852 0.00124062 0.00137463 0.00107337 0.0015513 0.000966927 0.00123541 0.00127991 0.00102864 0.00119008 0.00138151 0.00120611 0.000783099 0.000670574 0.0011131 0.000969826 0.00123043 0.000975564 0.000912244 0.000972181 0.000848515 0.00125673 0.00104562 0.00111382 0.00101053 0.00124745 0.00120194 0.0013064 0.000960043 0.000950986 0.00115631 0.00100911 0.000939258 0.0014227 0.00126591 0.00131061 0.00100385 0.00116492 0.00116648 0.00127455 0.00100175 0.00073846 0.0010934 0.000933191 0.0011229 0.00124514 0.00129807 0.00131438 0.00126145 0.0011479 0.00111458 0.000551832 0.00128986 0.00120018 0.0013421 0.000989639 0.000826998 0.00087539 0.000847294 0.000991996 0.00160623 0.00106807 0.000916162 0.000878489 0.00126321 0.00100318 0.00125386 0.00116222 0.00108613 0.00119502 0.000723318 0.000937666 0.00133915 0.0012476 0.00109946 0.00127334 0.00159368 0.00129809 0.00127341 0.000939804 0.0010968 0.00107536 0.000780741 0.00117105 0.0011752 0.00134687 0.000841161 0.000935478 0.0011263 0.000928382 0.00124539 0.0012892 0.00150351 0.00112232 0.00112788 0.000726782 0.00122152 0.00139363 0.00117467 0.00128544 0.0010675 0.00122824 0.0011315 0.00114003 0.0009785 0.000805345 0.0010126 0.00112054 0.0015021 0.00122267 0.00113725 0.000757919 0.00111621 0.00126128 0.000681918 0.00124001 0.00105593 0.00150389 0.00112134 0.00104563 0.000970099 0.00132587 0.00125068 0.00132676 0.00111546 0.000944311 0.0009338 0.00125939 0.00116836 0.00147685 0.00104485 0.00124307 0.00112112 0.00135002 0.00101073 0.00111709 0.00115903 0.00134976 0.00121973 0.000965242 0.00104776 0.00131008 0.00113548 0.00118026 0.00108855 0.00128854 0.00109086 0.000990702 0.00132387 0.00124239 0.0015945 0.0014439 0.00127763 0.000982723 0.00132984 0.00126479 0.000977398 0.00132096 0.00138341 0.00102696 0.000928811 0.00120921 0.00127129 0.00112969 0.00125701 0.00126074 0.000970162 0.00118511 0.00104052 0.000958422 0.00114719 0.00102488 0.00133661 0.00124523 0.00106949 0.001163 0.000805272 0.00109036 0.00086075 0.00127586 0.00109737 0.00127824 0.00124584 0.00116524 0.00129543 0.00122143 0.000967649 0.00119959 0.000992206 0.00142186 0.00113812 0.00122878 0.000815101 0.00109397 0.0011395 0.00119167 0.00117942 0.000909403 0.00121472 0.00129018 0.00103649 0.00132162 0.00103314 0.00126356 0.00111888 0.00119709 0.00123407 0.0015139 0.0015215 0.00108001 0.00100944 0.000869486 0.00133526 0.000966681 0.00119503 0.000836531 0.00111939 0.00116391 0.00110141 0.00130026 0.00110229 0.00119482 0.00114614 0.00119915 0.00112331 0.000984036 0.00117389 0.00122163 0.00103625 0.00128683 0.00101889 0.00103788 0.000697202 0.00108302 0.000947103 0.00160093 0.00115904 0.00147123 0.00122976 0.000990091 0.00125688 0.000976317 0.000986503 0.00123083 0.00104206 0.00125954 0.00146606 0.000819431 0.00101051 0.00103699 0.00112924 0.00118309 0.000897159 0.000826489 0.000751542 0.00117886 0.000947364 0.00117714 0.000983042 0.00094449 0.0013475 0.000842016 0.000850041 0.00143211 0.000859784 0.00101026 0.000993944 0.00095249 0.00122721 0.00127961 0.00116352 0.0011265 0.00100367 0.00112755 0.0014107 0.00102306 0.000949383 0.0013669 0.00107921 0.000963099 0.00117053 0.000761041 0.001097 0.00086039 0.00130994 0.00104152 0.00152606 0.00113838 0.000992024 0.00117815 0.00113297 0.00103068 0.00144072 0.00101894 0.00154053 0.00124048 0.0011321 0.00117141 0.00102142 0.00103575 0.00118269 0.00136205 0.0011617 0.000898029 0.000938265 0.00108425 0.00109479 0.00130001 0.00114015 0.00111432 0.00104476 0.000993894 0.00120286 0.0010187 0.00100312 0.00104696 0.00137962 0.000781271 0.000890835 0.000889156 0.000766018 0.000934983 0.00122741 0.00119866 0.00106653 0.00101102 0.00139572 0.00155897 0.00134809 0.00114662 0.0014807 0.00107329 0.00130331 0.00109218 0.000956613 0.00105677 0.00115201 0.00109451 0.00108296 0.000838179 0.000885982 0.00114573 0.00104896 0.000921239 0.00107317 0.00114538 0.00102162 0.00129 0.00128387 0.00115245 0.0010683 0.0011171 0.00103625 0.00099038 0.000850784 0.00101596 0.0012477 0.000816299 0.001123 0.00139124 0.00126448 0.00095489 0.00136832 0.00129932 0.00113862 0.00128587 0.00108535 0.00141129 0.000868485 0.00103242 0.000948392 0.00130334 0.00151127 0.00159209 0.00145594 0.00135476 0.000973608 0.00106274 0.00103787 0.0012451 0.00107765 0.00123831 0.000830769 0.00101371 0.00125295 0.00108906 0.00108939 0.00150745 0.000925427 0.00134768 0.00123612 0.00109121 0.00098815 0.0011543 0.00114857 0.00106746 0.000702152 0.000807776 0.00144147 0.000980832 0.00105003 0.0013004 0.00134207 0.00143166 0.000949367 0.00126463 0.000840571 0.0012241 0.00103329 0.00113726 0.000811413 0.00121072 0.00113351 0.00102095 0.000974415 0.000941666 0.00125135 0.0010865 0.00108684 0.00138671 0.000840071 0.00140061 0.00104724 0.0010324 0.00104164 0.00100024 0.00125437 0.000818947 0.000949574 0.000990051 0.000950623 0.00106713 0.00102086 0.00109291 0.00119748 0.00123689 0.000961466 0.000972487 0.00126554 0.000957385 0.00120199 0.00112148 0.00104485 0.00101216 0.00111912 0.00120521 0.00120639 0.000829822 0.00115085 0.00110257 0.00115478 0.00120583 0.00132791 0.00100709 0.00108148 0.00140993 0.000954726 0.0013918 0.00103319 0.0010698 0.00111864 0.00119215 0.000806592 0.00100339 0.000905215 0.000940739 0.0012354 0.000811612 0.00117877 0.00153292 0.00109169 0.00145969 0.00103489 0.00082938 0.000837415 0.00136894 0.00100034 0.00101539 0.00105153 0.0010471 0.00100099 0.00111864 0.00083696 0.00119742 0.00108501 0.00106745 0.000814871 0.000944979 0.00114354 0.00134132 0.00111097 0.0011807 0.00117327 0.00123749 0.00114449 0.00121362 0.00109976 0.000846276 0.00112165 0.00124695 0.00101966 0.00100053 0.000823064 0.00113543 0.00117401 0.000877363 0.00130236 0.00121338 0.00125308 0.001149 0.000998249 0.00104842 0.00125806 0.00126754 0.00137775 0.00102618 0.00105703 0.00120099 0.00132374 0.00111881 0.00136751 0.000957538 0.00160241 0.0016848 0.00130834 0.000926974 0.00105687 0.00112867 0.0013283 0.000908757 0.00119536 0.00111521 0.00107257 0.00102237 0.00129079 0.00105755 0.00161307 0.00155415 0.0012759 0.00103772 0.00104829 0.00117346 0.00153483 0.00100819 0.00121882 0.000987301 0.000966761 0.00120929 0.000921542 0.00122795 0.00111283 0.00100219 0.000833547 0.00109751 0.00122272 0.00122713 0.00106523 0.00143633 0.00141571 0.000754466 0.00138193 0.0012274 0.000944507 0.000945018 0.00108026 0.000940951 0.000751685 0.00132145 0.00105182 0.00112846 0.000927476 0.00144303 0.000761822 0.00095878 0.0013074 0.00091354 0.00128191 0.00107247 0.00119728 0.00118128 0.00139586 0.000883861 0.000910365 0.000734283 0.000846578 0.00110866 0.00109619 0.000829145 0.00133233 0.00114228 0.00104628 0.00115256 0.000930973 0.00125825 0.000710179 0.000681104 0.00120439 0.00119082 0.00131278 0.00134795 0.00093218 0.00143754 0.00136591 0.0010914 0.000933258 0.000884679 0.00141824 0.00131037 0.00115951 0.00112926 0.00112006 0.0010939 0.00124897 0.000948243 0.000847114 0.000915985 0.000924903 0.00112898 0.00133192 0.00111539 0.00124362 0.00111008 0.00102424 0.00117549 0.00119666 0.00120128 0.000776083 0.000906898 0.00103222 0.00115066 0.00139469 0.00124633 0.00125121 0.00116824 0.00100054 0.00108467 0.00100727 0.00118859 0.00104701 0.00131748 0.00108839 0.00138757 0.00155533 0.00136583 0.00125818 0.00128337 0.00130516 0.00111172 0.000833707 0.00110111 0.000978606 0.00106425 0.00120362 0.00143853 0.00100845 0.00116186 0.00118409 0.00112579 0.000541077 0.000953848 0.00116603 0.00122731 0.00105585 0.00145877 0.000970642 0.000979521 0.00121598 0.00108529 0.00122084 0.0013304 0.00119929 0.0008058 0.00112342 0.0011023 0.00111707 0.000932972 0.00100152 0.00120509 0.000931834 0.00105176 0.00121281 0.0011614 0.00114532 0.00123758 0.00135522 0.00134479 0.00107005 0.00129252 0.000915789 0.00144307 0.00114761 0.00113066 0.00124644 0.00055505 0.00125228 0.00139779 0.00103687 0.00122629 0.000720038 0.00118842 0.000814505 0.00165941 0.00171195 0.00147557 0.000942577 0.000899381 0.00097537 0.00102439 0.000961897 0.00137998 0.00138328 0.000973693 0.00116001 0.00112447 0.00144368 0.00117127 0.00112659 0.0010695 0.000717313 0.00117045 0.0012158 0.00103522 0.000930102 0.00136762 0.00103802 0.001301 0.00111773 0.00148359 0.000897575 0.00107924 0.00144733 0.000955415 0.00108394 0.000888582 0.000902858 0.000975943 0.000862519 0.00117584 0.00112961 0.00116278 0.00092812 0.00102394 0.000980582 0.00100243 0.00100336 0.0011001 0.00116683 0.00135406 0.00132598 0.00112493 0.00137897 0.000939158 0.00127628 0.00109939 0.00137741 0.000902575 0.0011264 0.00104835 0.000977584 0.00101215 0.00119085 0.00132969 0.00128921 0.00138569 0.000726157 0.00123076 0.00134768 0.000743777 0.00113334 0.000895252 0.000879035 0.000907276 0.0010523 0.00134555 0.00131267 0.000950518 0.000925048 0.00116402 0.00140423 0.00110798 0.000894754 0.00114912 0.00153973 0.000966415 0.000868747 0.00105613 0.00104039 0.00137264 0.000788385 0.00115649 0.00125578 0.001389 0.00138423 0.000782006 0.000750887 0.00124851 0.00119752 0.00118705 0.00136611 0.00103796 0.00127034 0.00110578 0.000997872 0.000824293 0.00104053 0.00119612 0.00134605 0.00110394 0.00140132 0.00105785 0.00112644 0.00114706 0.00132669 0.00116163 0.000900863 0.00139442 0.00124163 0.00109742 0.0013729 0.00123002 0.00126249 0.000994804 0.000847557 0.000854663 0.0010612 0.000970989 0.00142099 0.0013079 0.00103914 0.00110014 0.00115645 0.00117996 0.00116292 0.00109135 0.00115333 0.00110677 0.00118988 0.00122982 0.00131931 0.0012898 0.00109204 0.001127 0.00109399 0.00134536 0.00108309 0.00118832 0.00110982 0.00100441 0.00120838 0.000800471 0.0011635 0.00100269 0.0008421 0.00117365 0.00141577 0.00120339 0.00131625 0.00140275 0.00119978 0.00119722 0.00116278 0.00133534 0.00126597 0.00159149 0.00120525 0.0012977 0.00117064 0.00125173 0.00108466 0.00119544 0.000844921 0.00121736 0.000980274 0.000855638 0.00148162 0.00111648 0.000842889 0.000795396 0.00116474 0.00106965 0.00117138 0.000980023 0.00131663 0.00139139 0.00101034 0.00104024 0.00126126 0.00131139 0.00126795 0.00153646 0.000953427 0.00123111 0.00117731 0.00133412 0.00135446 0.00111972 0.00111136 0.00123265 0.00124673 0.000981594 0.0011269 0.00109645 0.00110838 0.00126252 0.00104531 0.00119553 0.000978632 0.00167952 0.00118767 0.000815586 0.00126719 0.000684969 0.000717261 0.00119887 0.000851006 0.00102918 0.0014164 0.00118965 0.00113916 0.000858798 0.00123763 0.000930303 0.00115251 0.00128512 0.00111434 0.00107924 0.00109602 0.00115283 0.00099301 0.000934811 0.00102679 0.00112276 0.00133317 0.000733503 0.001129 0.00112432 0.00140537 0.00109587 0.000970186 0.00100699 0.00110606 0.00130132 0.00117223 0.00122879 0.00130125 0.00102617 0.00130164 0.00117955 0.00129729 0.000956738 0.00119168 0.00105219 0.000779982 0.00120928 0.0013073 0.00097792 0.00127474 0.00121496 0.00113535 0.00110419 0.0010203 0.00119188 0.000893997 0.0012122 0.00105294 0.000993596 0.00134803 0.00107803
bins

These estimates are very close to the real parameters. This example illustrates that parameter estimation in rich, complex models such as the one above -- or even richer models with many hierarchies -- is as simple in Baysig as linear regression.